2. 考研
  3. (Stolz公式)若T＞0为常数， (1)g(x+T)＞g(x)x≥a； (2)g(x)→+∞(当x→+∞时)，且f，g在[a，+∞)内闭订界(即指：b＞a,f,g在[a，b]上有界)； (3) 则(其中l为有限数，或+∞或

(Stolz公式)若T＞0为常数， (1)g(x+T)＞g(x)x≥a； (2)g(x)→+∞(当x→+∞时)，且f，g在[a，+∞)内闭订界(即指：b＞a,f,g在[a，b]上有界)； (3) 则(其中l为有限数，或+∞或

admin2022-10-31  123
问题 (Stolz公式)若T＞0为常数，
    (1)g(x+T)＞g(x)x≥a；
    (2)g(x)→+∞(当x→+∞时)，且f，g在[a，+∞)内闭订界(即指：b＞a,f,g在[a，b]上有界)；
    (3)
    则(其中l为有限数，或+∞或-∞)．
选项
答案1°(l为有限数)要证[*]即要证明[*] 按已知条件g(x)→+∞，及[*]知， [*] 至此，我们若能证明 [*] 剩下的问题在于从②式推证③式．记αn=[*]-l．则 f(x+nT)=f(x+(n-1)T)+[g(x+nT)-g(x+(n-1)T)](αn+l) =f(x+(n-2)T)+[g(x+(n-1)T)-g(x+(n-2)T)](αn-1+l)+[g(x+nT) -g(x+(n-1)T)](αn+l) =…… =f(x+T)+[g(x+2T)-g(x+T)](α2-l)+[g(x+3T)-g(x+2T)](α3+l) +…+[g(x+nT)-g(x+(x+(n-1)T)](αn+l) =f(x+T)+α2[g(x+2T)-g(x+T)]+…+αn[g(x+nT)-g(x+(n-1)T)] +[g(x+nT)-g(x+T)]． 再除以g(x+nT)，减去l，得 [*]·{｜α2｜｜g(x+2T)-g(x+T)｜ +…+｜αn}｜｜g(x+nT)-g(x+(n-1)T)｜}． 由②式知｜αk｜＜ε／2(K=1，2·…，n)，由条件(1)· [*] 由此 f(x+nT)＞f(x+(n-1)T)+2M[g(x+nT)-g(x+(n-1)T)] ＞f(x+(n-2)T)+2M[g(x+(n-1)T)-g(x+(n-2)T)] +2M[g(x+nT)-g(x+(n-1)T)] ＞…… ＞f(x)+2M[g(x+T)-g(x)]+…+2M[g(x+nT)-g(x+(n-1)T)] =f(x)+2M[g(x+nT)-g(x)]． 两边同时除以g(x+nT)， [*] 3°l=-∞的情况，可考虑-f(x)化为2°的情况．
解析
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考研数学三

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