已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

admin2021-02-25 75

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=4x²₂-3x²₃+4x₁x₂-4x₁x₃+8x₂x₃．
用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

选项

答案矩阵A的特征多项式为 [*] 由此得矩阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=6，λ₃=-6．于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形 f=y²₁+6y²₂-6y²₃．对于特征值λ₁=1，由于 [*] 故对应于特征值λ₁=1的特征向量可取为ξ₁=(2，0，-1)^T．类似地，对应于特征值λ₂=6，λ₃=-6的特征向量可分别取为ξ₂=(1，5，2)^T，ξ₃=(1，-1，2)^T．因为A是实对称矩阵，且λ₁，λ₂，λ₃互异，故x₁，x₂，x₃构成正交向量组，将其单位化得 [*] 于是，所求的正交矩阵为 [*] 故对二次型f作正交变换 [*] 则可将f化为标准形 f=y²₁+6y²₂-6y²₃．

解析

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考研数学二

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已知二次型 f(x1，x2，x3)=4x22-3x23+4x1x2-4x1x3+8x2x3．用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．

考研数学二

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。求导数f’(x)；

设χy＝χf(χ)＋yg(z)，且χf′(z)＋yg′(z)≠0，其中z＝z(χ，y)是z，y的函数．证明：[z－g(z)]＝[y－f(z)]．

设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2求此时的D1+D2．

设函数f(μ)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式=0。若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(μ)的表达式。

设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．求此时的D1+D2．

计算行列式

若三阶方阵，试求秩(A)．

(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

设三阶方阵A，B满足A—1BA=6A+BA，且，则B=______。

平肝降逆宜生用，止血宜煅用的药物是()

生产经营单位应当具备(　　)才能从事生产经营活动。

社会主义法制建设的中心环节是()。

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设χy＝χf(χ)＋yg(z)，且χf′(z)＋yg′(z)≠0，其中z＝z(χ，y)是z，y的函数．证明：[z－g(z)]＝[y－f(z)]．

设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2求此时的D1+D2．

设函数f(μ)在(0，+∞)内具有二阶导数，且z=满足等式=0。若f(1)=0，f’(1)=1，求函数f(μ)的表达式。

设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．求此时的D1+D2．

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(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

设三阶方阵A，B满足A—1BA=6A+BA，且，则B=______。

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