设函数f(x，y)=e2x(x+2y+y2)． (I)求f(x，y)的极值； (Ⅱ)求函数f(x，y)一e2xy2在条件x+y=1下的极值.

admin2020-09-23 37

问题设函数f(x，y)=e^2x(x+2y+y²)．
(I)求f(x，y)的极值；
(Ⅱ)求函数f(x，y)一e^2xy²在条件x+y=1下的极值.

选项

答案(I)f_x’=e^2x(2x+4y+2y²+1)，f_y’=e^2x(2+2y)， [*] 因为f_xx"=4e^2x(x+2y+y²+1)，f_xy"=4e^2x(1+y)，f_yy"=2e^2x，在驻点[*]处， [*] 因为B²-AC=-4e²＜0，A＞0，所以f(x，y)在点[*]处取得极小值，且极小值为[*] (Ⅱ)由x+y=1得y=1-x。此时f(x，y)一e^2xy²=e^2x(2一x)，令z=e^2x(2一x)，则 [*] 令[*]=0，得z=e^2x(2-x)的驻点为[*]=一2e³＜0，知[*]是函数z的极大值点，所以函数f(x，y)一e^2xy²在条件x+y=1下的极大值[*]

解析

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考研数学一

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