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  3. 设n维向量α1，α2，…，αs，下列命题中正确的是

设n维向量α1，α2，…，αs，下列命题中正确的是

admin2019-02-18  46
问题 设n维向量α1，α2，…，αs，下列命题中正确的是
选项 A、如果α1，α2，…，αs线性无关，那么α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，αs+α1也线性无关．
B、如果α1，α2，…，αs线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关．
C、如果α1，α2，…，αs线性相关，A是m×n非零矩阵，那么Aα1，Aα2，…，Aαs也线性相关．
D、如果α1，α2，…，αs线性相关，那么αs可由α1，α2，…，αs－1线性表出．
答案C
解析 (A)：当s为偶数时，命题不正确．例如，α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性相关．
(B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系．
例如，α1，α2，…，αs与α1，α2，…，αs，0等价，但后者必线性相关．
(C)：因为(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，于是
r(Aα1，Aα2，…，Aαs)=r[A(α1，α2，…，αs)]≤r(α1，α2，…，αs)＜s，
所以，Aα1，Aα2，…，Aαs必线性相关．故应选(C)．
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考研数学一

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