设f(x)是[a,b]上的连续函数，且对于满足∫abg(x)dx=0的任意连续函数g(x)，都有∫abf(x)g(x)dx=0，证明存在ξ∈[a，b]使得f(x)=f(ξ)恒成立。

admin2022-08-12 36

问题设f(x)是[a,b]上的连续函数，且对于满足∫_a^bg(x)dx=0的任意连续函数g(x)，都有∫_a^bf(x)g(x)dx=0，证明存在ξ∈[a，b]使得f(x)=f(ξ)恒成立。

选项

答案根据积分中值定理知f(x)在闭区间[a，b]上连续，存在ξ∈[a，b]使得，∫_a^bf(x)dx=(b-a)f(ξ)=∫_a^bf(ξ)dx，进而有∫_a^b[f(ξ)-f(x)]dx=0。取g₀(x)=f(x)-f(ξ)，则∫_a^bg₀(x)dx=0，∫_a^bf(ξ)g₀(x)dx=0①。由已知可得，∫_a^bf(x)g₀(x)dx=0②。 ②-①得∫_a^b[f(x)-f(ξ)]g₀(x)dx=0，即∫_a^bg₀²(x)dx=0，解得g₀(x)=0，进一步得f(x)=f(ξ)，结论得证。

解析

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设f(x)是[a,b]上的连续函数，且对于满足∫abg(x)dx=0的任意连续函数g(x)，都有∫abf(x)g(x)dx=0，证明存在ξ∈[a，b]使得f(x)=f(ξ)恒成立。

数学学科知识与教学能力

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根据材料，按要求完成教学设计任务。神奇的货币(1)货币及货币的职能从商品中分离出来固定地充当一般等

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设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥>0，g’(x)≥0。证明：对任何a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)≥f(a)g(1)请说明初中函数内容教学的要求，并结合

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)—x=0的两个根x，x满足0＜x1＜x2＜。(1)当x∈(0，x1)时，证明x＜f(x)＜x1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜。

设f在[a,+∞)连续,且f(x)存在,则f在[a，+∞)上一致连续．

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