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设f(x)是[a,b]上的连续函数，且对于满足∫abg(x)dx=0的任意连续函数g(x)，都有∫abf(x)g(x)dx=0，证明存在ξ∈[a，b]使得f(x)=f(ξ)恒成立。
设f(x)是[a,b]上的连续函数，且对于满足∫abg(x)dx=0的任意连续函数g(x)，都有∫abf(x)g(x)dx=0，证明存在ξ∈[a，b]使得f(x)=f(ξ)恒成立。
admin
2022-08-12
49
问题
设f(x)是[a,b]上的连续函数，且对于满足∫
a
b
g(x)dx=0的任意连续函数g(x)，都有∫
a
b
f(x)g(x)dx=0，证明存在ξ∈[a，b]使得f(x)=f(ξ)恒成立。
选项
答案
根据积分中值定理知f(x)在闭区间[a，b]上连续，存在ξ∈[a，b]使得，∫
a
b
f(x)dx=(b-a)f(ξ)=∫
a
b
f(ξ)dx，进而有∫
a
b
[f(ξ)-f(x)]dx=0。 取g
0
(x)=f(x)-f(ξ)，则∫
a
b
g
0
(x)dx=0，∫
a
b
f(ξ)g
0
(x)dx=0①。由已知可得，∫
a
b
f(x)g
0
(x)dx=0②。 ②-①得∫
a
b
[f(x)-f(ξ)]g
0
(x)dx=0，即∫
a
b
g
0
2
(x)dx=0，解得g
0
(x)=0，进一步得f(x)=f(ξ)，结论得证。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/2Ktv777K
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
0
数学学科知识与教学能力
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