2. 考研
  3. 设函数f（x）在区间[0，4]上连续，且f（x）dx=0，求证：存在ξ∈（0，4）使得f（ξ）+f（4一ξ）=0．

设函数f（x）在区间[0，4]上连续，且f（x）dx=0，求证：存在ξ∈（0，4）使得f（ξ）+f（4一ξ）=0．

admin2019-08-11  66
问题 设函数f（x）在区间[0，4]上连续，且f（x）dx=0，求证：存在ξ∈（0，4）使得f（ξ）+f（4一ξ）=0．
选项
答案作换元t=4—x:0→4对应t:4→0，且dx=—df，从而 ∫04f(x)dx=一∫40f(4— t)dt=∫04(4— t)dt=∫04f(4— x)dx． 由此即得∫04f(4一x）dx=∫04f(x）dx=0，于是∫04[f(x)+f(4—x)]dx=0． 利用f(x)+f(4—x)在[0，4]连续，由连续函数的积分中值定理即知存在ξ∈(0，4)使得 f(ξ）+f(4一ξ）=[*]∫04[f(x)+f(4一x）]dx =0．
解析
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考研数学三

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