设f(χ)在区间[0，1]上可导，f(1)＝2χ2f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

admin2019-08-23 55

问题设f(χ)在区间[0，1]上可导，f(1)＝2

χ²f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

选项

答案令φ(χ)＝χ²f(χ)，由积分中值定理得f(1)＝2[*]χ²f(χ)dχ＝c²f(c)，其中c∈[0，[*]]，即φ(c)＝φ(1)，显然φ(χ)在区间[0，1]上可导．由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ′(ξ)＝0．而P′(χ)＝2χf(χ)＋χ²f′(χ)，所以2ξf(ξ)＋ξ²f′(ξ)＝0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．

解析

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