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考研
下列二次型中,正定二次型是 ( )
下列二次型中,正定二次型是 ( )
admin
2020-03-08
37
问题
下列二次型中,正定二次型是 ( )
选项
A、f
1
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
3
)
2
+(x
2
-x
3
)
2
+(x
3
-x
4
)
2
+(x
4
-x
1
)
2
.
B、f
2
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
+x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
.
C、f
3
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
一x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
-x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
.
D、f
4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)=(x
1
-x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
.
答案
D
解析
法一 A存在x
1
=[1,1,1,1]
T
,使得f
1
(x
1
)=0,f
1
不正定.B存在x
2
=[1,一1,1,一1]
T
,使得f
2
(x
2
)=0,f
2
不正定.C存在x
3
=[1,1,一1,一1
T
,使得f
3
(x
3
)=0,f
3
不正定.由排除法知,应选D.
法二 或对D,f
4
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)一(x
1
一x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
,
其中
故x=C
-1
y是可逆线性变换,则由
知,f
4
是正定二次型.
法三 f
1
(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)一(x
1
一x
2
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
3
+x
4
)
2
+(x
4
+x
1
)
2
=(x
1
一x
2
,x
2
+x
3
,x
3
+x
4
,x
4
+x
1
)
=x
T
D
T
x=X
T
Ax.其中A=D
T
D,
D是可逆阵.故知A=D
T
D是正定阵,f
4
是正定二次型.法四写出各二次型的对应矩阵,用顺序主子式是否都大于零来判别,请读者自行计算.
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/1lS4777K
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考研数学一
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