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  3. 下列二次型中，正定二次型是 ( )

下列二次型中，正定二次型是 ( )

admin2020-03-08  33
问题 下列二次型中，正定二次型是    (  )
选项 A、f1(x1，x2，x3，x4)=(x1－x3)2+(x2－x3)2+(x3－x4)2+(x4－x1)2．
B、f2(x1，x2，x3，x4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2．
C、f3(x1，x2，x3，x4)=(x1一x2)2+(x2+x3)2+(x3－x4)2+(x4+x1)2．
D、f4(x1，x2，x3，x4)=(x1－x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2．
答案D
解析 法一  A存在x1=[1，1，1，1]T，使得f1(x1)=0，f1不正定．B存在x2=[1，一1，1，一1]T，使得f2(x2)=0，f2不正定．C存在x3=[1，1，一1，一1 T，使得f3(x3)=0，f3不正定．由排除法知，应选D．
法二  或对D，f4(x1，x2，x3，x4)一(x1一x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2，
其中故x=C-1y是可逆线性变换，则由知，f4是正定二次型．
法三  f1(x1，x2，x3，x4)一(x1一x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2=(x1一x2，x2+x3，x3+x4，x4+x1)

=xTDTx=XTAx．其中A=DTD，D是可逆阵．故知A=DTD是正定阵，f4是正定二次型．法四写出各二次型的对应矩阵，用顺序主子式是否都大于零来判别，请读者自行计算．
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