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在约束条件C:x2+2xy+2y2-4y=0,求f(x,y)=的最大值与最小值.
在约束条件C:x2+2xy+2y2-4y=0,求f(x,y)=的最大值与最小值.
admin
2021-04-07
61
问题
在约束条件C:x
2
+2xy+2y
2
-4y=0,求f(x,y)=
的最大值与最小值.
选项
答案
求f(x,y)=[*]的最大值与最小值,等价于讨论 [*] 用拉格朗日乘数法,构造辅助函数,有 F(x,y,λ)=(x+y+6)
2
+λ(x
2
+2xy+2y
2
-4y), 令[*] 由②-①式,得λ(2y-4)=0,则λ=0或y=2。 当λ=0时,②式与③式联立无解,所以不取λ=0,改取y=2,代入③式,得x
2
+4x=0,得x=0或x=-4,则有两点(0,2)或(4,2)。 取点(0,2),得φ(0,2)=16;取点(-4,2),得φ(-4,2)=64,由于约束条件C:x
2
+2xy+2y
2
-4y=0所表示的曲线在xQy平面上的一个矩形区域D={(x,y)∣-k≤x≤k,-k≤y≤k}内,连续函数φ(x,y)在C上必有最大值与最小值,所以φ
max
(x,y)=64,φ
max
(x,y)=16,从而f
max
(x,y)=[*],f
min
(x,y)=[*]
解析
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考研数学二
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