(17)设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2， (Ⅰ)证明r(A)=2； (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

admin2019-03-21 62

问题 (17)设3阶矩阵A=(α₁，α₂，α₃)有3个不同的特征值，且α₃=α₁+2α₂，
(Ⅰ)证明r(A)=2；
(Ⅱ)若β=α₁+α₂+α₃，求方程组Ax=β的通解．

选项

答案(Ⅰ)由于矩阵A的第3列可以由其前两列线性表示，即A的列向量组线性相关．从而知A的秩r(A)≤2；又因为A有3个不同的特征值，所以A至少有2个不为零的特征值，从而r(A)≥2；故r(A)=2． (Ⅱ)由0=α₁+2α₂-α₃=[α₁，α₂，α₃][*] 知ξ=[*]是方程组Ax=0的一个解．又由r(A)=2知方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-2=1，所以ξ=[*]是方程组Ax=0的一个基础解系．因为β=α₁+α₂+α₃=[α₁，α₂，α₃][*]，所以η=[*]是方程绢Ax=β的一个特解，故方程组Ax=β的通解为x=[*]，其中k为任意常数．

解析

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考研数学二

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(17)设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2， (Ⅰ)证明r(A)=2； (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

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