2. 考研
  3. 设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．

admin2017-07-26  59
问题 设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．
选项
答案令λ为BA的一个非零特征值，α是BA的属于λ的特征向量，则BAα=λα(α≠0)． 在此等式两端左乘矩阵A，则 A(BAα)=AB(Aα)=α(Aα)(α≠0) 再证Aα≠0．事实上，若Aα=0，则 BAα=B．0=0=λα(α≠0)， 于是λ=0，矛盾． 所以Aα≠0．于是λ为AB的非零特征值，且Aα是AB的属于λ的特征向量． 同理可证，AB的非零特征值λ也是BA的非零特征值，故AB与BA有相同非零特征值．如β是AB的属于λ的特征向量，则Bβ是BA的属于λ的特征向量．
解析
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考研数学三

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