[2002年] 设A，B为同阶矩阵．当A，B均为实对称矩阵时，试证第一题的逆命题成立．

admin2019-07-23 45

问题 [2002年] 设A，B为同阶矩阵．
当A，B均为实对称矩阵时，试证第一题的逆命题成立．

选项

答案若A，B皆为实对称矩阵，且A，B有相同的特征多项式，则A与B相似．事实上，因A与B有相同的特征值，记其特征值为λ_i(i=1，2，…，n)，又因实对称矩阵必可对角化，所以存在可逆矩阵P与Q，使得 P^-1AP=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)， Q^-1BQ=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)．则P^-1AP=Q^-1BQ．令S=PQ^-1，则矩阵S可逆，使得S^-1AS=B，故A与B相似．

解析

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