设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

admin2019-01-05 62

问题设二次型f=2x₁²+2x₂²+ax₃²+2x₁x₃+2bx₁x₃+2x₂x₃经过正交变换X=QY化为标准形f=yx₁²+yx₂²+4yx₃²，求参数a，6及正交矩阵Q．

选项

答案二次型，f=2x₁²+2x₂²+a₃²+2x₁x₂+2bx₁x₃+2x₂x₃的矩阵形式为 f=X^TAX 其中 [*] 因为Q^TAQ=B=[*]，所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而|λE一A|=λ³一(a+4)λ²+(4a一b²+2)λ+(一3a一2b+2b²+2)，所以有 λ³一(a+4)λ²+(4a一b²+2)λ+(一3a一2b+2b²+2)=(λ一1)²(λ一4)，解得a=2，b=1．当λ₁=λ₂=1时，由(E一A)X=0得ξ₁=[*] 由λ₃=4时，由(4E一A)X=0得ξ₃=[*] 显然ξ₁，ξ₂，ξ₃两两正交，单位化为 [*]

解析

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考研数学三

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设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

考研数学三

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且（Ⅰ）求A的所有特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵A。

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，依概率收敛于其数学期望，只要{Xn：n≥1}（）

设总体X的密度函数f（x）=S2分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则=;E（S2）=。

设总体X与Y都服从正态分布N（0，σ2），已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn是分别取自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量Y=服从t（n）分布，则等于（）

设平面区域D由曲线y=及直线y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为________。

设X1，X2，…，Xn（n＞2）为取自总体N（0，1）的简单随机样本，为样本均值，记Yi=Xi—，i=1，2，…，n。求：（Ⅰ）Yi的方差D（Yi），i=1，2，…，n；（Ⅱ）Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn）。

设X1，X2，…，Xm是取自总体N（0，1）的简单随机样本，记

设有正项级数是它的部分和。（Ⅰ）证明收敛；（Ⅱ）判断级数是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。

设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn为来自X的一个简单随机样本，求p的矩估计量。

Thereisalotofevidence______stressispartlyresponsibleforthedisease.

属于化学性污染的污染物是

七恶之中肝恶的表现是

患者，男，34岁。遗精半年，腰脊瘦痛，头晕耳鸣，骨蒸潮热，虚烦盗汗，口燥咽干，舌红少苔，脉细数。治疗应选用六味地黄丸加

甲公司对乙公司负有交付葡萄酒的合同义务。丙公司和乙公司约定，由丙公司代甲公司履行，甲公司对此全不知情。下列哪一表述是正确的?()(12年司考．卷三．单12)

地下水对基坑的危害与土质密切相关，当基坑处于()地层时，在地下水作用下，容易造成坡面渗水、土粒流失、流沙，进而引起基坑坍塌。

下列合同中，属于要式法律行为的有()。(2016年回忆版)

下列项目中，应计算增值税销项税额的项目是()。

差别定价策略具体表现为()。

以下关于数据处理的叙述中，不正确的是__________。

设二次型f=2x12+2x22+ax32+2x1x3+2bx1x3+2x2x3经过正交变换X=QY化为标准形f=yx12+yx22+4yx32，求参数a，6及正交矩阵Q．

考研数学三

A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且（Ⅰ）求A的所有特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵A。

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，依概率收敛于其数学期望，只要{Xn：n≥1}（）

设总体X的密度函数f（x）=S2分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则=________;E（S2）=________。

设总体X与Y都服从正态分布N（0，σ2），已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn是分别取自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量Y=服从t（n）分布，则等于（）

设平面区域D由曲线y=及直线y=0，x=1，x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，则（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为________。

设X1，X2，…，Xn（n＞2）为取自总体N（0，1）的简单随机样本，为样本均值，记Yi=Xi—，i=1，2，…，n。求：（Ⅰ）Yi的方差D（Yi），i=1，2，…，n；（Ⅱ）Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn）。

设X1，X2，…，Xm是取自总体N（0，1）的简单随机样本，记

设有正项级数是它的部分和。（Ⅰ）证明收敛；（Ⅱ）判断级数是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。

设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn为来自X的一个简单随机样本，求p的矩估计量。

Thereisalotofevidence______stressispartlyresponsibleforthedisease.

属于化学性污染的污染物是

七恶之中肝恶的表现是

患者，男，34岁。遗精半年，腰脊瘦痛，头晕耳鸣，骨蒸潮热，虚烦盗汗，口燥咽干，舌红少苔，脉细数。治疗应选用六味地黄丸加

甲公司对乙公司负有交付葡萄酒的合同义务。丙公司和乙公司约定，由丙公司代甲公司履行，甲公司对此全不知情。下列哪一表述是正确的?()(12年司考．卷三．单12)

地下水对基坑的危害与土质密切相关，当基坑处于()地层时，在地下水作用下，容易造成坡面渗水、土粒流失、流沙，进而引起基坑坍塌。

下列合同中，属于要式法律行为的有()。(2016年回忆版)

下列项目中，应计算增值税销项税额的项目是()。

差别定价策略具体表现为()。

以下关于数据处理的叙述中，不正确的是__________。

设总体X的密度函数f（x）=S2分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则=;E（S2）=。