设A是n阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，其中αn≠0，若Aα1=α2,Aα2=α3，…，Aαn－1=αn，Aαn=0．证明：α1，α2，…，αn线性无关．

admin2017-06-14 85

问题设A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_n是n维列向量，其中α_n≠0，若Aα₁=α₂,Aα₂=α₃，…，Aα_n－1=α_n，Aα_n=0．
证明：α₁，α₂，…，α_n线性无关．

选项

答案设k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0， ① 据已知条件，有 Aα₁=α₂， A²α₁=Aα₂=α₃，…， A^n－1α₁=A^n－2α₂=…=Aα_n－1=α_n， Aⁿα₁=A^n－1α₂=…=Aα_n=0，于是，用A^n－1左乘①式，得 k₁α_n=0．由于α_n≠0，得k₁=0．再依次用A^n－2，A^n－3，…，左乘①式，可得到k₂=k₃=…=k_n=0，所以α₁，α₂，…，α_n线性无关．

解析

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