设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )．

admin2021-11-15 57

问题设A，B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( )．

选项 A、C^TAC
B、A^-1+B^-1
C、A^*+B^*
D、A-B

答案D

解析显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为A，B正定，所以A^-1，B^-1及A^*，B^*都是正定的，对任意X≠0，X^T(C^TAC)X=(CX)^TA(CX)>＞0(因为C可逆，所以当X≠0时，CX≠0)，于是C^TAC为正定矩阵，同样用定义法可证A^-1+B^-1与A^*+B^*都是正定矩阵，选(D)．

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