设p＞0是一常数，过点Q(2p，0)的直线与抛物线y2=2眇交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心)。证明：抛物线顶点在圆H的圆周上。

admin2014-12-22 55

问题设p＞0是一常数，过点Q(2p，0)的直线与抛物线y²=2眇交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H(H为圆心)。证明：抛物线顶点在圆H的圆周上。

选项

答案证明： ①当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p，代入y²=2px得y²=4p²，y=±2p。所以|AB|=|y|-y2|=4p。显然，满足|OQ|=[*]|AB|，此时Q、H重合，所以点D在⊙H上。 ②若直线AB与x轴不垂直，则直线AB的斜率存在，设其倾斜角为α，则直线AB的方程为y=tanα(x-2p)，[*]综上，可知O一定在⊙H上。

解析

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