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  3. 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)＝1，f’(1)＝0，f(2)＝．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f”(ξ)＝2．

设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)＝1，f’(1)＝0，f(2)＝．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f”(ξ)＝2．

admin2019-11-25  70
问题 设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)＝1，f’(1)＝0，f(2)＝．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f”(ξ)＝2．
选项
答案方法一 先作一个函数P(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，使得 P(0)＝f(0)＝1，P’(1)＝f’(1)＝0，P(2)＝f(2)＝[*]，P(1)＝f(1)． 则P(x)＝[*]＋[[*]－f(1)]x2＋[2f(1)－[*]]x＋1， 令g(x)＝f(x)－P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)＝g(1)＝g(2)＝0，所以 存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)＝g’(1)＝g’(c2)＝0，又存在d1∈(c1，1)， d2∈(1，c2)使得g”(d1)＝g”(d2)＝0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)[*](0，2)， 使得g”(ξ)＝0，而g”(x)＝f”(x)－2，所以f’”(ξ)＝2． 方法二 由泰勒公式，得 1＝f(0)＝f(1)＋[*]，ξ1∈(0，1)， [*]＝f(2)＝f(1)＋[*]，ξ2∈(1，2)， 两式相减，得[*]，而f(x)∈C[0，2]，所以存在ξ∈(0，2)，使得f’”(ξ)＝2．
解析
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考研数学三

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