设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1＋b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变化下的标准形为2y12+y22。

admin2018-04-12 92

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁＋b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变化下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案设A=2αα^T+ββ^T，由于α，β正交，所以α^Tβ=β^Tα=0，则 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α｜α｜²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量； Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2αα^Tβ+β｜β｜²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

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考研数学二

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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1＋b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变化下的标准形为2y12+y22。

考研数学二

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2+y2=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成。将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功?(长度单位：m，重力加速度为gm／s2，水的密度为103g／m3)

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则

设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3—2x2x3．若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示．求α的值；

(I)利用行列式性质，有[*]

急性心肌梗死最早出现的症状是

与成瘾性有关的阿片受体亚型是：

软骨肉瘤的特殊类型不包括

监理大纲的主要内容是(　　)。

法律规定合同中同时定有违约金与定金条款的，当事人既约定违约金，又约定定金的，一方违约时，对方()。

已知销售量的敏感系数为2，为了确保下年度企业不亏损，销售量下降的最大幅度为()。

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设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则

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设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

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