2. 考研
  3. 设A,P均为3阶矩阵，P={γ1，γ2，γ3},其中γ1，γ2，γ3为3维列向量且线性无关，若A(γ1，γ2，γ3)=(γ3，γ2，γ1). 证明A可相似对角化。

设A,P均为3阶矩阵，P={γ1，γ2，γ3},其中γ1，γ2，γ3为3维列向量且线性无关，若A(γ1，γ2，γ3)=(γ3，γ2，γ1). 证明A可相似对角化。

admin2022-03-23  103
问题 设A,P均为3阶矩阵，P={γ1，γ2，γ3},其中γ1，γ2，γ3为3维列向量且线性无关，若A(γ1，γ2，γ3)=(γ3，γ2，γ1).
证明A可相似对角化。
选项
答案由A(γ1，γ2，γ3)=(γ1，γ2，γ3)[*],即AP=PB,可推出P-1AP=B,可得A～B 对矩阵B=[*],由 ｜λE－B｜=[*]=(λ－1)(λ2－1)=(λ－1)2（λ+1）=0 得特征值 λ1=λ2=1，λ3=－1 当λ1=λ2=1时，由(E－B)x=0,即 [*] 解得两个线性无关的特征向量ξ1=(1,0,1)T，ξ2=（0,1,0）T 当λ3=－1时，由(－E－B)x=0，即 [*] 解得特征向量为ξ3=(1,0,－1)T 记Q=[*],则Q-1BQ=[*],故B可相似对角化，[*]
解析
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考研数学三

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