[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

admin2019-05-16 65

问题 [2013年] 设二次型f(x₁，x₂，x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

选项

答案因α，β为单位向量且相互正交，有 β^Tα=α^Tβ=0，[*] 故α^Tβ=1，β^Tβ=1．因而 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α(α^Tα)+β(β^Tα)=2α‖α‖+β(β^Tα)=2α，即α为A的属于特征值λ₁=2的特征向量． Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α(α^Tβ)+β(β^Tβ)=2α·0+β·1=β，即β为A的属于特征值λ₂=1的特征向量．又秩（A）=秩(2αα^T+ββ^T)≤秩(2αα^T)+秩(ββ^T)≤秩α+秩β=1+1=2＜3，则A的第三个特征值为λ₂=0．故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²．

解析

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考研数学一

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[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

考研数学一

二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值__________．

级数收敛，则p的范围为__________．

函数f(x，Y)=xe-(x2+y2)/2的极值___________.

设点M(ξ,η，ζ)是椭球面上第一卦限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ,η，ζ)使曲面积分为最小，并求此最小值．

回答下列问题求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求收敛区间内的和函数．

下列反常积分发散的是

设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx＝(x1，x2，x3)，满足＝2，AB＝O，其中B＝f(x1，x2，x3)＝1表示什么曲面?

设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx＝(x1，x2，x3)，满足＝2，AB＝O，其中B＝求该二次型；

原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+|2|=0对称的点为

关于肝脏海绵状血管瘤超声表现，不包括

A．薯蓣皂苷B．甘草酸C．甘草次酸D．剑麻皂苷E．黄芪苷甲甘草中具有甜味的成分是()。

关于急性结膜炎用药A、四环素、利福平滴眼剂B、0.1%羟苄唑滴眼剂C、醋酸可的松滴眼剂D、2%色甘酸钠滴眼剂E、0.1%碘苷滴眼剂对由细菌感染引起的急性卡他性结膜炎可选用

对于中小企业，财务报表附注不是必需的部分。

在事关重大的案件与事件的处置上，公安机关要及时请示()，以取得及时有力的领导。

最近三年来，捷达牌计算机的销量有了飞速的增长。而同一时期，该品牌用于电视广告的费用也明显增长了。因而有人认为，捷达牌计算机销量的增长，得益于其电视广告的促销作用。以下哪项为真，最能削弱上述结论?

肾损伤早期手术的适应证是

[*]

Youwillhearapieceofnews.Foreachquestion23-30,markoneletterA,BorCforthecorrectanswer.Youwillhearthereco

TheHopeProjectaimstobringhopetopeoplestrugglingwithadisabilityandtotheirfamilies.TheHopeProjectwasdesigned

[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．

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二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值__________．

级数收敛，则p的范围为__________．

函数f(x，Y)=xe-(x2+y2)/2的极值___________.

设点M(ξ,η，ζ)是椭球面上第一卦限中的点，S是该椭球面在点M处的切平面被三个坐标面所截得的三角形的上侧．求点(ξ,η，ζ)使曲面积分为最小，并求此最小值．

回答下列问题求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求收敛区间内的和函数．

下列反常积分发散的是

设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx＝(x1，x2，x3)，满足＝2，AB＝O，其中B＝f(x1，x2，x3)＝1表示什么曲面?

设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx＝(x1，x2，x3)，满足＝2，AB＝O，其中B＝求该二次型；

原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+|2|=0对称的点为

关于肝脏海绵状血管瘤超声表现，不包括

A．薯蓣皂苷B．甘草酸C．甘草次酸D．剑麻皂苷E．黄芪苷甲甘草中具有甜味的成分是()。

关于急性结膜炎用药A、四环素、利福平滴眼剂B、0.1%羟苄唑滴眼剂C、醋酸可的松滴眼剂D、2%色甘酸钠滴眼剂E、0.1%碘苷滴眼剂对由细菌感染引起的急性卡他性结膜炎可选用

对于中小企业，财务报表附注不是必需的部分。

在事关重大的案件与事件的处置上，公安机关要及时请示()，以取得及时有力的领导。

最近三年来，捷达牌计算机的销量有了飞速的增长。而同一时期，该品牌用于电视广告的费用也明显增长了。因而有人认为，捷达牌计算机销量的增长，得益于其电视广告的促销作用。以下哪项为真，最能削弱上述结论?

肾损伤早期手术的适应证是

[*]

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[2013年] 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．