2. 公务员
  3. 如图5，O为坐标原点，双曲线C1：=1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：=1(a2＞b2＞0)均过点P(，1)，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． 是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且?

如图5，O为坐标原点，双曲线C1：=1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：=1(a2＞b2＞0)均过点P(，1)，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． 是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且?

admin2017-11-16  11
问题 如图5，O为坐标原点，双曲线C1：=1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：=1(a2＞b2＞0)均过点P(，1)，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．

是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且?证明你的结论．
选项
答案不存在符合题设条件的直线． ①若直线l垂直于x轴，即直线l的斜率不存在，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为 [*] ②若直线l不垂直于x轴，即直线l的斜率存在，设x的方程为y=kx+m． 由[*]得(3－k2)x2－2kmx－m2－3=0． 当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2上述方程的两个实根，从而x1+x2=[*]． 于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=[*]． 由[*]得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6=0． 因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式 △=16k2m2一8(2k2+3)(m2一3)=0．化简，得2k2=m2－3，因此 [*] 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．
解析
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