2. 考研
  3. (2012年)(Ⅰ)证明方程χn＋χn-1…＋χ＝1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χn，证明χn存在，并求此极限．

(2012年)(Ⅰ)证明方程χn＋χn-1…＋χ＝1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根； (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χn，证明χn存在，并求此极限．

admin2021-01-19  135
问题 (2012年)(Ⅰ)证明方程χn＋χn-1…＋χ＝1(n为大于1的整数)在区间(，1)内有且仅有一个实根；
    (Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为χn，证明χn存在，并求此极限．
选项
答案(Ⅰ)令f(χ)＝χn＋χn-1＋…＋χ－1(n＞1)，则f(χ)在[[*]，1]上连续，且 [*]，f(1)＝n－1＞0, 由闭区间上连续函数的介值定理知，方程f(χ)＝0在([*]，1)内至少有一个实根． 当χ∈([*]，1)时， f′(χ)＝nχn-1＋(n－1)χn-2＋…＋2χ＋1＞1＞0， 故f(χ)在([*]，1)内单调增加． 综上所述，方程f(χ)＝0在([*]，1)内有且仅有一个实根． (Ⅱ)由χn∈([*]，1)知数列{χn}有界，又 χnn＋χnn-1＋…＋χn＝1 χnn＋χnn-1＋χn+1n-1＋…＋χn+1＝1 因为χ＞0，所以 χnn＋χnn-1＋…＋χn＞χn+1n＋χn+1n-1＋…＋χn+1 于是有 χn＞χn+1，n＝1，2…， 即{χn}单调减少． 综上所述，数列{χn}单调有界，故{χn}收敛． 记a＝[*]χn．由于 [*] 令χ→∞并注意到[*]＜χn＜χ1＜1，则有 [*] 解得a＝[*]，即[*]
解析
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考研数学二

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