某闸门的形状与大小如图1—3—7所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高应为多少米?

admin2019-08-01 138

问题某闸门的形状与大小如图1—3—7所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成．当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高应为多少米?

选项

答案[详解1] 设ρ为水的密度，g为重力加速度．如图1—3—8建立坐标系，则抛物线的方程为 y＝x²．闸门的矩形部分承受的水压力 [*] 闸门的下部承受的水压力 [*] 由题设知[*]，解得h＝2，[*](舍去)．故闸门的矩形部分高h应为2米． [*] [详解2] 如图1—3—9建立坐标系，则抛物线的方程为x＝h＋1－y²．闸门的矩形部分承受的水压力 [*]。闸门的下部承受的水压力 [*]，令[*]，得 [*] 由[*]，解得h＝2，[*](舍去)。故闸门的矩形部分高h应为2米． [*]

解析 [分析] 先利用定积分求出两部分所受的水压力的表达式，再根据二者的关系确定h．
[评注] 本题是定积分的应用题型之一，关键是建立适当的坐标系，用微元法找出水压力的表达式．

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考研数学二

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