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设y=y(x)是凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值。
设y=y(x)是凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值。
admin
2018-12-19
71
问题
设y=y(x)是凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为
,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值。
选项
答案
由题设及曲率公式,有(因曲线y=y(x)是凸的,所以y’’<0,|y’’|=一y’’) [*] 化简得[*],改写为[*] 两端同时积分解得 arctany’=一x+C
1
。 (1) 由题设,曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,可知y(0)=1,y’(0)=1。 将x=0代入(1)式,得C
1
=[*]。 由arctany’=一x+[*],故 [*] (本题选择[*]是因为已知曲线在x=0处有值,且曲线是一条连续曲线,因此该解的范围应该包含x=0在内并且使y(x)连续的一个区间。) 对(2)式积分得 [*] 又由题设可知y(0)=1,代入上式,得[*],于是所求的曲线方程为 [*] 由于[*],且lnx在定义域内是增函数,所以当且仅当[*]时,y取得最大值,由于[*],所以此时y取极大值,极大值为[*],显然y在[*]没有极小值。
解析
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考研数学二
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