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  3. 设函数f(x)连续，且f(t)dt＝sin2x＋tf(x一t)dt．求f(x)．

设函数f(x)连续，且f(t)dt＝sin2x＋tf(x一t)dt．求f(x)．

admin2017-11-13  50
问题 设函数f(x)连续，且f(t)dt＝sin2x＋tf(x一t)dt．求f(x)．
选项
答案[*] 代入原方程即得[*] ① 由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对x求导即得 f(x)=2sinxcosx＋∫0xf(u)du＝sin2x+∫0xf(u)du ② (在①中令x＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．) 在②式中令x＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(x)可导，于是将它两端对x求导，又得 f’(x)＝2cos2x＋f(x)． 故求y＝f(x)等价于求解初值问题[*]的特解．解之可得 [*]
解析
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考研数学一

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