2. 考研
  3. 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(χ，y)＝，－∞＜χ，y＜＋∞， 记Z＝X2＋Y2．求： (Ⅰ)Z的密度函数； (Ⅱ)EZ，DZ； (Ⅲ)P{Z≤1}．

设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 f(χ，y)＝，－∞＜χ，y＜＋∞， 记Z＝X2＋Y2．求： (Ⅰ)Z的密度函数； (Ⅱ)EZ，DZ； (Ⅲ)P{Z≤1}．

admin2018-11-23  58
问题 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为
    f(χ，y)＝，－∞＜χ，y＜＋∞，
    记Z＝X2＋Y2．求：
    (Ⅰ)Z的密度函数；
    (Ⅱ)EZ，DZ；
    (Ⅲ)P{Z≤1}．
选项
答案(Ⅰ)当z≤0时，F(z)＝0；当z＞0时， F(z)＝P{Z≤z}＝P{X2＋Y2≤z} ＝[*] 于是fZ(z)＝F′(z)＝[*] 由此可以看出，Z服从参数为[*]的指数分布． (Ⅱ)由f(χ，y)＝[*]可知，X与Y相互独立，且X2与Y2也独立，又X～N(0，σ2)，Y～N(0，σ2)，故 EZ＝E(X2＋Y2)＝EX2＋EY2＝2DX＝2σ2， DZ＝D(X2＋Y2)＝DX2＋DY2＝2DX2， [*] DX2＝EX4－(EX2)2＝3σ4－σ4＝2σ4， 故DZ＝4σ4． (Ⅲ)P{Z≤1}＝[*]
解析
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考研数学一

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