设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=0，方程f(x)=0在(0，1)内有实根x0，证明：存在不同的ξ1，ξ2∈(0，1)，使得ξ1f’(ξ1)+f(ξ1)=ξ2f’(ξ2)+f(ξ2)=0；

admin2022-01-19 11

问题设f(x)在[0，1]上有二阶导数，且f(1)=0，方程f(x)=0在(0，1)内有实根x₀，证明：
存在不同的ξ₁，ξ₂∈(0，1)，使得ξ₁f’(ξ₁)+f(ξ₁)=ξ₂f’(ξ₂)+f(ξ₂)=0；

选项

答案令g(x)-xf(x)，g(0)=g(x₀)=g(1)=0．由罗尔定理，可知存在ξ₁∈(0，x₀)，ξ₂∈(x₀，1)，使得g’(ξ₁)=g’(ξ₂)=0，即 ξ₁f’(ξ₁)+f(ξ₁)=ξ₂f’(ξ₂)+f(ξ₂)=0．

解析

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考研数学一

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