已知，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

admin2015-05-07 70

问题已知

，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得到A的特征值是λ₁=1－a，λ₂=a，λ₃=a+1． [*] 得到属于λ₁=1－a的特征向量是α₁=k₁(1，0，1)^T，k₁≠0． [*] 得到属于λ₂=a的特征向量是α₂=k₂(1，1－2a，1)^T，k₂≠0． [*] 得到属于λ₃=a+1的特征向量α₃=k₃(2－a，－4a，a+2)^Tk₃≠0．如果λ₁，λ₂，λ₃互不相同，即1－a≠a，1－a≠a+1，a≠a+1，即a≠1／2且a≠0，则矩阵A有3个不同的特征值，A可以相似对角化．若a=1／2即λ₁=λ₂=1／2，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．若a=0，即λ₁=λ₃=1，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化．

解析

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考研数学一

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