2. 考研
  3. 设ψ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ(x)=ψ(x)，φ(0)=0． (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecosx的通解； (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

设ψ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ(x)=ψ(x)，φ(0)=0． (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecosx的通解； (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

admin2021-08-05  77
问题 设ψ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ(x)=ψ(x)，φ(0)=0．
(1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecosx的通解；
(2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．
选项
答案(1)该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为 y=e∫sinxdx[∫ψ(x)ecosxe∫sinxdxdx+C]=ecosx[∫ψ(x)ecosx·e—cosxdx+C] =ecosx[∫ψ(x)dx+C]—ecosx[φ(x)+C](C为任意常数) (2)因通解中ecosx是以2π为周期的函数，故只需φ(x+2π)即可．因为φ’(x)=ψ(x)， 所以φ(x)=∫0xψ(t)dt+C1．又φ(0)=0，于是φ(x)一∫0xψ(t)dt．而 φ(x+2π)=∫0x+2πψ(t)dt=∫0xψ(t)dt+∫xx+2πψ(t)dt=φ(x)+∫02πψ(t)dt， 所以，当∫02πψ(t)dt=0时，φ(x+2π)=φ(x)，此时φ(x)以2π为周期． 因此，当∫02πψ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．
解析
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考研数学二

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