设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵．证明：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．

admin2018-09-25 76

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵．证明：B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n．

选项

答案显然B^TAB为对称矩阵．则 B^TAB为正定矩阵<=>[*]x≠0，x^T(B^TAB)x＞0<=>(Bx)^TA(Bx)＞0[*]Bx≠0<=>r(B)=n．

解析

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考研数学一

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