设A为3阶实对称矩阵，A2＋2A＝0，r(A)＝2，且A＋kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵，则k满足的条件为( )

admin2021-04-07 87

问题设A为3阶实对称矩阵，A²＋2A＝0，r(A)＝2，且A＋kE为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵，则k满足的条件为( )

选项 A、k＞2
B、k≥2
C、k＜－3
D、k≤－3

答案A

解析设λ为A的特征值，对应的特征向量为α(α≠0)，则Aa＝λα，于是(A²＋2A)α＝(λ²＋2λ)α＝0，
又由于α≠0，故有λ²＋2λ＝0，解得λ＝－2，λ＝0。
因为实对称矩阵A必可相似对角化，又r(A)＝2，所以
A～∧＝

因此，A的特征值为λ¹＝λ²＝－2，λ³＝0，矩阵A＋kE的特征值为－2＋k，－2＋k，k。
于是，A＋kE为正定矩阵当且仅当A＋是E的特征值均大于零，这等价于k＞2。

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