设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f’(x)｜≤2，证明：｜∫02f(x)dx｜≤2．

admin2017-08-31 43

问题设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且｜f^’(x)｜≤2，证明：｜∫₀²f(x)dx｜≤2．

选项

答案由微分中值定理得f(x)一f(0)=f^’(ξ₁)x，其中0＜ξ₁＜x，f(x)一f(2)=f^’(ξ₂)(x一2)，其中x＜ξ₂＜2，于是[*]从而｜∫₀²f(x)dx｜≤∫₀²｜f(x)｜dx=∫₀¹｜f(x)｜dx＋∫₁²｜f(x)｜dx)≤∫₀¹2xdx+∫₁²2(2一x)dx=2．

解析

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考研数学一

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