2. 考研
  3. 以下4个命题，正确的个数为 ( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞ f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞ f(x)

以下4个命题，正确的个数为 ( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞ f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞ f(x)

admin2015-07-22  104
问题 以下4个命题，正确的个数为 (     )
①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞ f(x)dx=0；
②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞ f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞ f(x)dx=
③若∫-∞+∞ f(x)dx与∫-∞+∞ g(x)dx都发散，∫-∞+∞ g(x)dx未必发散；
④若∫-∞0 f(x)dx与∫0+∞ f(x)dx都发散，则∫-∞+∞ f(x)dx未必发散．
选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
答案A
解析 ∫-∞+∞f(x)dx收敛存在常数a，使∫-∞a f(x)dx和∫a-∞
  f(x)dx都收敛，此时
        ∫-∞+∞  f(x)dx=∫-∞a f(x)dx+∫a+∞ f(x)dx．
        设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且

但是
          ∫-∞0f(x)dx=∫-∞0xdx=∞，∫0+∞ f(x)dx=∫0+∞ xdx=∞，故∫-∞+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．
    设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫-∞+∞ f(x)dx与∫-∞+∞ g(x)dx都发散，但∫-∞+∞ [f(x)+ g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题。故应选(A)．
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考研数学三

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