已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵A的特征向量是_______．

admin2019-07-01 79

问题已知矩阵

只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵A的特征向量是_______．

选项

答案k(－1，1，1)^T，k≠0为任意常数

解析 “特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵A只有一个线性无关的特征向量，故特征值λ₀必是3重根，且秩r(λ₀E－A)=2．
由∑λ_i=∑a_ii知3λ₀=4+(－2)+1，得特征值λ=1(3重)．又

因为秩r(E－A)=2，因此有a=－2．此时(E－A)x=0的基础解系是(－1，1，1)^T．
故A的特征向量为k(－1，1，1)^T，k≠0为任意常数．

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