2. 考研
  3. 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χAχ在正交变χ＝Qy下的标准形为y12＋y22，且Q的第三列为 (1)求A； (2)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χAχ在正交变χ＝Qy下的标准形为y12＋y22，且Q的第三列为 (1)求A； (2)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

admin2019-02-26  58
问题 设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χAχ在正交变χ＝Qy下的标准形为y12＋y22，且Q的第三列为
    (1)求A；
    (2)证明A＋E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．
选项
答案(1)由题意知QTAQ＝∧，其中，∧＝[*]，则A＝Q∧QT， 设Q的其他任一列向量为(χ1，χ2，χ3)T．因为Q为正交矩阵， 所以[*] 变即χ1＋χ3＝0，其基础解系含2个线性无关的解向量，即为[*] 把α1单位化β1＝[*] [*] (2)证明：因为(A＋E)T＝AT＋E＝A＋E，所以A＋E为实对称矩阵． 又因为A的特征值为1，1，0，所以A＋E特征值为2，2，1，都大于0，因此A＋E为正定矩阵．
解析
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考研数学一

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