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设α1,α2……αn是n维向量组，证明α1,α2……αn线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．
设α1,α2……αn是n维向量组，证明α1,α2……αn线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．
admin
2016-01-11
132
问题
设α
1
,α
2
……α
n
是n维向量组，证明α
1
,α
2
……α
n
线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．
选项
答案
必要性：由于n维的向量组α
1
,α
2
……α
n
线性无关，则对于任意一个n维向量β，则α
1
,α
2
……α
n
，β必线性相关，从而存在不全为零的数k
1
，k
2
，…，k
n
，λ，使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
+λβ=0． 若λ=0，则k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
=0，由α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关得k
1
=k
2
=…=k
n
=0，这与k
1
，k
2
，…，k
n
，λ不全为零矛盾，从而λ≠0，于是[*] 充分性：由于任意一个n维向量都可由α
1
,α
2
……α
n
线性表示，特别地取n维基本向量组e
1
，e
2
，…，e
n
，则e
1
，e
2
，…，e
n
能由α
1
,α
2
……α
n
线性表示． 即(e
1
,e
2
……e
n
)=(α
1
,α
2
……α
n
)K，其中K是n×n矩阵．两边取行列式． ｜(α
1
,α
2
……α
n
)｜｜K｜=｜e
1
,e
2
……e
n
｜=1≠0，从而｜α
1
,α
2
……α
n
｜≠0，从而α
1
,α
2
……α
n
，线性无关．
解析
本题考查向量组线性相关性的概念和线性表示的概念及向量组线性相关性的判定．要求考生掌握n个n维向量线性无关的充分必要条件是由它们排成的n阶行列式不为零．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/mq34777K
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