2. 考研
  3. [2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0． 试证三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

[2003年] 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0． 试证三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

admin2019-04-08  66
问题 [2003年]  已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1：ax+2by+3c=0，  l2：bx+2cy+3a=0，  l3：cx+2ay+3b=0．
试证三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
选项
答案先证必要性．设三直线交于一点，则二元线性方程组 [*] 有唯一解，故其系数矩阵[*]与其增广矩阵[*]的秩为2，且[*] 由于 [*]=6(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc) =3(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]， 又l1，l2，l3是三条不同直线，故a=b=c不成立．因而(a一b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0(或者如果a=b=c，则三条直线重合，从而有无穷多个交点与交点唯一矛盾)，故a+b+c=0． 下证充分性．若a+b+c=0，则c=一(a+b)，且由必要性的证明中知[*]，故秩[*]． 又系数矩阵A中有一个二阶子式 [*]=2(ac一b2)=2[a(a+b)+b2]=-2[(a+b／2)2+3b2／4]≠0， 故秩(A)=2．于是秩(A)=[*]=2．因而方程组①有唯一解，即三直线l1，l2，l3交于一点．
解析
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考研数学一

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