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设A是3阶实对称矩阵,已知A的每行元素之和为3,且有二重特征值λ1=λ2=1.求A的全部特征值、特征向量,并求An.
设A是3阶实对称矩阵,已知A的每行元素之和为3,且有二重特征值λ1=λ2=1.求A的全部特征值、特征向量,并求An.
admin
2020-03-05
33
问题
设A是3阶实对称矩阵,已知A的每行元素之和为3,且有二重特征值λ
1
=λ
2
=1.求A的全部特征值、特征向量,并求A
n
.
选项
答案
方法一 A是3阶矩阵,每行元素之和为3,即有 [*] 故知A有特征值λ
3
=3,对应特征向量为ξ
3
=[1,1,1]
T
. 又A是实对称阵,不同特征值对应的特征向量相互正交,故设λ
1
=λ
2
=1的特征向量为ξ=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,应有 ξ
3
T
ξ=x
1
+x
2
+x
3
=0, 解得λ
1
=λ
2
=1的线性无关特征向量为 ξ
1
=[-1,1,0]
T
,ξ
2
=[-1,0,1]
T
. 取P=[ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
]= [*] 故 A=PΛP
-1
,A
n
=PΛP
-1
…PΛP
-1
=PΛ
n
P
-1
. 其中P可如下求得: [*] 方法二 由方法一,得 Aξ
3
=λ
3
ξ
3
,其中λ
3
=3,ξ
3
= [*] 设λ
1
=λ
2
=1对应的特征向量为ξ=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则应有 ξ
3
T
ξ=x
1
+x
2
+x
3
=0. 取ξ
1
=[1,-1,0]
T
,再取ξ
2
与ξ
1
正交,设ξ
2
=[1,1,x]
T
,代入上式得ξ
2
=[1,1,-2]
T
,将ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
单位化,并取正交阵 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/mMS4777K
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考研数学一
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