设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f′(0)=f(1)=f′(1)=0. 证明：方程f″(x)-f(x)=0在(0，1)内有根.

admin2022-08-19 119

问题设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f′(0)=f(1)=f′(1)=0.
证明：方程f″(x)-f(x)=0在(0，1)内有根.

选项

答案令φ(x)=e^-x[f(x)+f′(x)]. 因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ′(c)=0，而φ′(x)=e^-x[f″(x)-f(x)]且e^-x≠0，所以方程f″(c)-f(c)=0在(0，1)内有根.

解析

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考研数学三

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