已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

admin2017-12-29 94

问题已知三元二次型f=x^TAx的秩为2，且

求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。

选项

答案二次型x^TAx的秩为2，即r（A）=2，所以λ=0是A的特征值。 [*] 所以3是A的特征值，（1，2，1）^T是与3对应的特征向量；一1也是A的特征值，（1，一1，1）^T是与一1对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是（x₁，x₂，x₃）^T，则有（x₁，x₂，x₃）[*]=0，（x₁，x₂，x₃）[*] 由方程组[*] 解出λ=0的特征向量是（1，0，一1）^T。 [*] 因此 x^T=[*]（x₁²+10x₂²+x₃²+16x₁x₂+2x₁x₃+16x₂x₃），令 [*] 则经正交变换x=Qy，有x^TAx=y^TΛy=3y₁²一y₃²。

解析

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考研数学三

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