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  3. 设积分区域D＝{(x，y)｜0≤x≤y≤2π}，计算二重积分I＝｜sin(y－x)｜dσ．

设积分区域D＝{(x，y)｜0≤x≤y≤2π}，计算二重积分I＝｜sin(y－x)｜dσ．

admin2018-12-21  81
问题 设积分区域D＝{(x，y)｜0≤x≤y≤2π}，计算二重积分I＝｜sin(y－x)｜dσ．
选项
答案由于被积函数为｜sin(y－x)｜，因此要分D为D1∪D2，如图所示． [*] 其中 D1＝{(x，y)｜π≤y－x≤2π，(x，y)∈D}， D2＝{(x，y)｜0≤y－x≤π，(x，y)∈D}， 仅当y－x＝π((x，y)∈D)时D1与D2有公共边，不影响积分的值． I＝[*]sin(y﹣x)dσ－[*]sin(y﹣x)dσ ＝[*]sin(y﹣x)dσ＋[*]sin(y﹣x)dσ－2[*]sin(y﹣x)dσ ＝[*]sin(y﹣x)dσ－2[*]sin(y﹣x)dσ ＝∫02πdxsin∫x2π(y－x)dy－2∫0πdx∫x﹢π2πsin(y－x)dy ＝－∫02πcos(y－x)｜y－xy－2πdx﹢2∫0πcos(y－x)｜y－x﹢πy－2πdx ＝－∫02π(cos x－1)dx﹢2∫0π(cos x﹢1)dx＝4π．
解析
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考研数学二

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