(12年)已知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

admin2019-07-16 83

问题 (12年)已知A＝

，二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝χ^T(A^TA)χ的秩为2．
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

选项

答案(Ⅰ)因为r(A^TA)＝r(A)，对A施以初等行变换 [*] 可见当a＝－1时，r(A)＝2，所以a＝－1． (Ⅱ)由于a＝－1，所以A^TA＝[*]．矩阵A^TA的特征多项式为 [*] 于是得A^TA的特征值为λ₁＝2，λ₂＝6，λ₃＝0．对于λ₁＝2，由求方程组(2E－A^TA)χ＝0的一个非零解，可得属于λ₁＝2的一个单位特征向量[*](1，－1，0)^T；对于λ₂＝6，由求方程组(6E－A^TA)χ＝0的一个非零解，可得属于λ₂＝6的一个单位特征向量[*](1，1，2)^T；对于λ₃＝0，由求方程组(A^TA)χ＝0的一个非零解，可得属于λ₃＝0的一个单位特征向量[*](1，1，－1)^T．今矩阵Q＝[*] 则厂在正交变换χ＝Qy下的标准形为f＝2y₁²＋6y₂²．

解析

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考研数学三

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(12年)已知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2． (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

考研数学三

设A为三阶实对称矩阵，α1=(a，－a，1)T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1－a)T是方程组(A+E)X=0的解，则a=______．

设函数f0(x)在(－∞，+∞)内连续，fn(x)=∫0xfn－1(t)dt(n=1，2，…)．证明：fn(x)=∫0xf0(t)(x－t)n－1dt(n=1，2，…)；

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为(一1，0，1)T．求A．

设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0．的解．

设u=u(x，y)由方程组u=(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且

设求a，b的值．

设D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜1)，变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，令判断X，Z是否独立．

设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．

设常数k>0，函数f(x)=lnx一+k在(0，+∞)内零点个数为()

[*]（e—2xarctanex+e—x+arctanex）+C

领导者树立正确的政治观念的基本要求有哪些?

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下列有关银行业金融机构的说法，正确的是()。

申请公司债券上市交易，应当向证券交易所报送的文件不包括(　　)。

我国佛寺主要殿堂常采用的屋顶形式为()。

A：_______?Youarenotlookinghappy．B：There’ssomethingwrongwithmyteeth．

下列关于Winmail邮件服务器的描述中，正确的是()。

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A、Lessstudentswanttogotocollege.B、Federalandstategovernmentsofferlesssupport.C、Thecostoflivingishigherthane

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设函数f0(x)在(－∞，+∞)内连续，fn(x)=∫0xfn－1(t)dt(n=1，2，…)．证明：fn(x)=∫0xf0(t)(x－t)n－1dt(n=1，2，…)；

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为(一1，0，1)T．求A．

设y=y(x)二阶可导，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．(1)将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0．的解．

设u=u(x，y)由方程组u=(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且

设求a，b的值．

设D={(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜1)，变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，令判断X，Z是否独立．

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