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设A是三阶可逆矩阵,如果A-1的特征值为1,2,3,则|A|的代数余子式A11+A22+A33=________。
设A是三阶可逆矩阵,如果A-1的特征值为1,2,3,则|A|的代数余子式A11+A22+A33=________。
admin
2019-07-24
53
问题
设A是三阶可逆矩阵,如果A
-1
的特征值为1,2,3,则|A|的代数余子式A
11
+A
22
+A
33
=________。
选项
答案
1
解析
[解题思路] A
ii
(i=1,2,3)为伴随矩阵A
*
的主对角线上的元素,其和A
11
+A
22
+A
33
恰等于A
*
的迹,即tr(A
*
)=A
11
+A
22
+A
33
。
但矩阵的迹又等于其特征值之和,于是归结求出A
*
的特征值,其求法有两种方法。
解一 由题设知,A的特征值为λ
1
=1,λ
2
=1/2,λ
3
=1/3,于是|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=1/6,则A
*
的特征值分别为
则 A
11
+A
22
+A
33
=tr(A
*
)=λ
1
*
+λ
2
*
+λ
3
*
=1/6+1/3+1/2=1。
解二 由AA
*
=|A|E=(1/6)E,即(6A)A
*
=E,得到
A
*
=(6A)
-1
=(1/6)A
-1
。
由A
-1
的特征值为1,2,3,得到A
*
的三个特征值分别为
λ
1
*
=(1/6)·1=1/6, λ
2
*
=(1/6)·2=1/3, λ
3
*
=(1/6)·3=1/2,
故 A
11
+A
22
+A
33
=tr(A
*
)=λ
1
*
+λ
2
*
+λ
3
*
=1/6+1/3+1/2=1。
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考研数学一
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