已知非齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，其中则a=______。

admin2020-03-10 55

问题已知非齐次线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，其中

则a=______。

选项

答案1

解析方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解，即(Ⅰ)的解全是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也全是(Ⅰ)的解。对(Ⅰ)求出其通解为
(3，2，0)^T+k(3，-1，1)^T，
于是把x₁=3+3k，x₂=2-k，x₃=k代入方程组(Ⅱ)，有

整理得

因为k为任意常数，故a=1。
此时方程组(Ⅰ)的解全是方程组(Ⅱ)的解。且当a=1时，方程组(Ⅱ)为

由方程组(Ⅱ)的系数矩阵A₂=

得秩R(A₂)=2，则根据非齐次线性方程组解的结构知(Ⅱ)的通解形式为α+kη。易知α=(3，2，0)^T是Ax=b的一个特解，η=(3，-1，1)^T是A₂x=0的一个非零解。
所以(Ⅰ)与(Ⅱ)必同解。

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