欧拉方程x2y2+xy’-4y=0满足条件y（1）=1，y’（1）=2的解为y=________。

admin2022-09-08 18

问题欧拉方程x²y²+xy’-4y=0满足条件y（1）=1，y’（1）=2的解为y=________。

选项

答案x²

解析作变换x=e^t，则y’(t)=y’(x)e^t=xy’(x)，
y”(t)=x’(t)y’(x)+xy”(x)x’(t)=xy’(x)+x²y”(x)=y’(t)+x²y”(x)，
则原方程可转化为y”(t)-y’(t)+y’(t)-4y(t)=0，即y”(t)-4y(t)=0，
其特征方程为λ²-4=0，特征根为λ₁=2，λ₂=-2，
则该方程的通解为y=C₁e^2t+C₂e^-2t=C₁x²+C₂x^-2，又y(1)=1，y’(1)=2，
故C₁=1，C₂=0，所以y=x²．

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