2. 考研
  3. 设向量组(i)α1＝(2，4，－2)T，α2＝(－1，a－3，1)T，a3＝(2，8，b－1)T；(ii)β1＝(2，b＋5，－2)T，β2＝(3，7，a－4)T，β3＝(1，2b＋4，－1)T． 记A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)． 问

设向量组(i)α1＝(2，4，－2)T，α2＝(－1，a－3，1)T，a3＝(2，8，b－1)T；(ii)β1＝(2，b＋5，－2)T，β2＝(3，7，a－4)T，β3＝(1，2b＋4，－1)T． 记A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)． 问

admin2022-07-06  11
问题 设向量组(i)α1＝(2，4，－2)T，α2＝(－1，a－3，1)T，a3＝(2，8，b－1)T；(ii)β1＝(2，b＋5，－2)T，β2＝(3，7，a－4)T，β3＝(1，2b＋4，－1)T．
记A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)．
问：
(Ⅰ)a，b为何值时，A等价于B，a，b为何值时，A和B不等价；
(Ⅱ)a，b为何值时，向量组(i)等价于(ii)，a，b为何值时，向量组(i)，(ii)不等价．
选项
答案(Ⅰ)A等价于B[*]r(A)＝r(B)．将A，B合并，作初等行变换，有 [*] 当a≠1且b≠－1时，r(A)＝r(B)＝3，A等价于B； 当a＝1或b＝－1时，r(A)＝r(B)＝2，A等价于B．所以无论a，b为何值均有A和B等价． (Ⅱ)(i)等价于(ii)[*]向量组可以相互表出[*](α1，α2，α3)x＝βi，(β1，β2，β3)y＝αi(i＝1，2，3)均有解[*]． 由(Ⅰ)知， a≠1，b≠－1时，r(i)＝r(ii)＝[*]＝3，(i)等价于(ii)； a＝1，b＝－1时，r(i)＝r(ii)＝[*]＝2，(i)等价于(ii)； a＝1，b≠－1时，r(i)＝r(ii)＝2≠[*]＝3，(β1，β2，β3)y＝α3无解，(i)，(ii)不等价； a≠1，b＝－1时，r(i)＝r(ii)＝2≠[*]＝3，(α1，α2，α3)x＝β2无解，(i)，(ii)不等价． 【注】为方便计算，我们将A，B合并，作初等行变换，若A化为阶梯形时，B的秩不能直接观察得出，则需将A，B分开计算，以免漏解．
解析
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考研数学一

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