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  3. 设A为n阶方阵，证明：r(A+E)+r(A—E)=n的充要条件是A2=E．

设A为n阶方阵，证明：r(A+E)+r(A—E)=n的充要条件是A2=E．

admin2020-06-10  34
问题 设A为n阶方阵，证明：r(A+E)+r(A—E)=n的充要条件是A2=E．
选项
答案本题主要考查矩阵秩的性质、特征向量的求法及矩阵的相似对角化，是一道有难度的综合题． 先证充分性：由A2=E，得(A+E)(A—E)=0，从而 r(A+E)+r(A+E)≤n， 又r(A+E)+r(A—E)=r(A+E)+r(E—A)≥r(2E)=n． 所以r(A+E)+r(A—E)=n． 再证必要性：设r(A+E)=r，则齐次线性方程组(一E—A)x=0有n一r个线性无关的解，设为α1，αn一r，即α1，αn
解析
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考研数学一

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