2. 考研
  3. (2005年试题，18)已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1．证明： 存在两个不同的点η，ξ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ξ)=1．

(2005年试题，18)已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1．证明： 存在两个不同的点η，ξ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ξ)=1．

admin2013-12-27  88
问题 (2005年试题，18)已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1．证明：
存在两个不同的点η，ξ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ξ)=1．
选项
答案根据(I)的结果可知，在[0，ξ]上用拉格朗日中值定理知，[*]η∈(0，ξ)，使得[*]在[ξ，1]上，用拉格朗日中值定理可知[*]ζ∈(ξ，1)，使得[*]．由此得f’(η).f’(ζ)=1．
解析 许多考生第(Ⅱ)问的证明思路是：根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，1)，使得f’，在此基础上，再找ζ∈(0，1)，使得．f’(ζ)=1，从而得到f’(η)f’(ζ)=1．此证明思路明显是错误的，请考生指出错在哪里?
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考研数学一

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