设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________。

admin2018-12-27 68

问题设y=e^x(C₁sinx+C₂cosx)(C₁，C₂为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________。

选项

答案y"－2y’+2y=0

解析方法一：由已知的通解形式知1±i为所求微分方程的特征方程的根，则特征方程为λ²－2λ+2=0，故所求方程为y"－2y’+2y=0。
方法二：由y=e^x(C₁sinx+C₂cosx)，等式两边对x求一阶、二阶导数，得
y’=e^x(C₁sinx+C₂cosx)+e^x(C₁cosx－C₂sinx)，
y"=2e^x(C₁cosx－C₂sinx)，
联立上述三式消去C₁，C₂，得y"－2y’+2y=0。

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