假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g "(x)≠0,f(a)= f(b)=g(a)= g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使.

admin2022-09-05 103

问题假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g "(x)≠0,f(a)= f(b)=g(a)= g(b)=0,试证:
在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使

选项

答案令ψ(x)= f(x)g’(x)－f ’(x)g(x) ,易知ψ(a)=ψ(b)=0. 对ψ(x)在[a,b]上应用罗尔定理知存在ξ∈(a,b),使ψ’(ξ)=0.即f(ξ)g"(ξ)－f"(ξ)g(ξ)=0. 因g(ξ)≠0,g"(ξ)≠0,故得[*]

解析

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